Démontrons le théoreme:
"Une suite convergente a une limite unique"

Supposons qu'il puisse exister une deuxième limite qu'on appelera b. Ainsi, tout intervalle:

I = ]a - ε; a + ε[
J = ]b - ε;b + ε[

Devrait contenir, d'apres la définition tous les termes de la suite a partir d'un certain rang.
Or on peut choisir Epsilon aussi petit que l'on veut, je prends donc:



Ce qui implique que les intervalles I et J n'aient aucun point en commun.
Donc la définition même de la limite ne peut être vraie pour a et b, mais au plus un des deux: il ne peut donc y avoir plus d'une limite !