I - Barycentre
1) Somme des poids nulle
Un système de points pondérés, si:
Alors il existe un vecteur u tel que:
2) Somme des poids non nulle
Si:
alors il existe un point G appellé barycentre du systeme tel que:
3) Preuves
Si la somme des poids est nulle:
Si la somme des poids est différente de zéro
II - Caracteristique barycentrique
1) Propriétés
A, B et C trois points non alignés.
- (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B.
- [AB] est l'ensemble des barycentres des points A et B de coef positifs
- (ABC) est l'ensemble des barycentre des points A,B et C
- L'intérieur du triangle ABC est l'ensemble des barycentres des points A,B et C de coefficient positifs
M est donc barycentre de:
2) Relation fondamentale du barycentre
G barycentre d'un systeme de points pondérés:
En considérant M=O, origine du repere, on obtient les coordonées de G en fonctions de celle des points pondérés.
3) Associativité / Barycentres partiels
Le barycentre G d'un systeme de points pondérés peut être obtenu de la facon suivante: on regroupe certains points dont la somme des oefficients est non nulle, on les remplace par le barycentre (partiel) de ces points affecté de la somme des coefficients.
On garde les autres points, on obtient alors un nouveau systeme dont le barycentre sera le même que le premier.
III - Produit scalaire
Définition:
Etant donné deux vecteurs u et v, on appelle produit scalaire le nombre reel:Propriétés
Pour tous vecteurs u, v et w de l'espace et tous reels k, on a :