Exponentielle, Logarithme népérien



Définitions et théoreme
Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que:
f'=f et f(0)=1

On la nomme exponentielle et on la note exp ou e.

Conséquences:
1) e⁰=1
2) e dérivable sur exp'(x)=exp(x)
3) quelquesoit x dans , e^x>0
4) exp est strictement croissante sur

Preuves:
- La définition implique les éléments 1) et 2)
- Pour prouver le 3) on raisonne par l'absurde:
Supposons qu'il existe a tel que e^a<0, on a:

• exp est dérivable donc continue

• e^a<0
• e⁰>0

 Ce qui sous entend que 0 [e^a;e⁰], d'après le théoreme des valeurs intermédiaires il existerait également un réel c dans [0;a] tel que:
e^c=0
Or exp ne s'annule pas, il est donc impossible que exp prenne des valeurs inférieures à 0



- Si partout exp'(x)=exp(x) et que exp est positive alors sa dérivée est elle aussi positive et exp est donc croissante ( 2) et 3) implique 4)

Notation:
¹On établira plus tard que:

• e^a+b=e^a*e^b
• 
• 
• e^na=(e^a)ⁿ avec n Z
• 

Preuve:
(La première égalité sera peut être établie plus tard en annexe)
Des lors:



Ainsi



e^na=(e^a)ⁿ se démontre par simple récurrence


Donc:






Preuve:


Est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables.


0 est donc le minimum de φ
Et on sait que:

Alors

Et

On a:




Ainsi

On peut etendre la démonstration à:











f est une bijonction de E dans F si f est une application telle que tout élément de F a un unique antécédant par f.
On note f^-1 l'application de F dans E qui a un élément de f associe son antécedant par f.
On nomme f^-1 la bijection réciproque de f (ou application réciproque).

Or nous savons que:
Exponentielle est strictement croissante et continue de dans ]0;+[




Tout élement de ]0;+[ a un unique antécedant dans
Donc e^x est une bijection de dans ]0;+[

Définition:
La fonction logarithme neperien est la bijection reciproque de la fonction exponentielle. On la note Ln



Ainsi:

• 
• 
• 

Pour tous réels a et b strictement positifs et tout entier relatif n on a:











La fonction logarithme népérien est croissante, on peut prouver cela en raisonnant par l'absurde:
Si a est plus petit que b et que ln n'est pas croissante sur , alors on pourrait écrire:


Or on pourrait dire que:


Car exponentielle est une fonction croissante sur , ce qui revient à dire:


Qui est en contradiction avec a plus petit que b, la fonction LN est donc croissante.

On a par conséquent: ln(2)>ln(1), donc ln(2)>0
Or:


D'où:


Donc


Pour la limite en moins l'infini, on peut utiliser la démonstration suivante:


Si y=ln(x) alors e^y=x, on peut donc écrire:




La fonction ln est dérivable sur ]0;+[ et:



Soit une fonction dérivable sur son ensemble de définition et à valeurs dans ^* alors (ln o u) est dérivable et:


ln est continue en 1:


Et la fonction exponentielle est continue en 1, or:



Lorsque alpha tend vers 0 x tend vers 1 et donc ln(x) tend vers 0