Les équations différentielles
Résoudre sur un intervalle I l'équation différentielle y'=ay+b, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles que:
=af(x)+b)
y'=ay se nomme aussi équation différentielle homogène associée
Les fonctions solutions de l'équation y'=ay sont les fonctions fk définies par:
=ke^{ax})
On considère les fonctions fk telles que:
Ces fonctions sont effectivement solutions, car:
=ake^{ax}=af_k%20(x))
On considère g solution de l'équation. Définissons z par z(x)=e-axg(x). z est dérivable en tant que produit de fonctions dérivables.
z'(x)=-ae-axg(x)+e-axg'(x)=e-ax(-ag(x)+g'(x))=e-ax(0)=0
Donc:
=0)
Donc:
=k)
=k)
=ke^{ax})
g(x) est donc une des fonctions fk vues dans la première étape.
Les solutions de l'équation differentielle y'=ay+b sont les fonctions fk définies par:
=ke^{ax}-\frac{b}{a})
(Ou k est toujours un réél quelquonque)
La fonction f0(x)=-b/a est une solution.
On considere g(x) solution de l'équation y'=ay+b
=ag(x)+b)
-ag(x)=b)
-ag(x)=f_0%20'(x)-af_0%20(x))
-ag(x)-f_0%20'(x)+af_0%20(x)=0)
'(x)=a(g-f_0%20)(x))
On peut donc s'appuyer sur les résultats obtenus precedement (Paragraphe II, preuve) pour dire que:
Or f0=-b/a
Il existe une unique solution de l'équation différentielle:
y'=ay+b
Vérifiant la condition initiale y(x0)=y0 (x0 et y0 deux reels donnés)
Ce cours n'est pas encore complet 
I - Vocabulaire
Résoudre sur un intervalle I l'équation différentielle y'=ay+b, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles que:
II - Résolution de y'=ay
y'=ay se nomme aussi équation différentielle homogène associée1) Théorème
Les fonctions solutions de l'équation y'=ay sont les fonctions fk définies par:
2) Preuve
1) Première étape
On considère les fonctions fk telles que:
Ces fonctions sont effectivement solutions, car:
2) Deuxième étape
On considère g solution de l'équation. Définissons z par z(x)=e-axg(x). z est dérivable en tant que produit de fonctions dérivables.
z'(x)=-ae-axg(x)+e-axg'(x)=e-ax(-ag(x)+g'(x))=e-ax(0)=0
Donc:
Donc:
g(x) est donc une des fonctions fk vues dans la première étape.
III - Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b (a différent de 0)
1) Théorème (résolution)
Les solutions de l'équation differentielle y'=ay+b sont les fonctions fk définies par:
(Ou k est toujours un réél quelquonque)
2) Preuve
La fonction f0(x)=-b/a est une solution.
On considere g(x) solution de l'équation y'=ay+b
On peut donc s'appuyer sur les résultats obtenus precedement (Paragraphe II, preuve) pour dire que:
Or f0=-b/a
3) Théorème (suite)
Il existe une unique solution de l'équation différentielle:
y'=ay+b
Vérifiant la condition initiale y(x0)=y0 (x0 et y0 deux reels donnés)
Ce cours n'est pas encore complet