I - Vocabulaire
Résoudre sur un intervalle I l'équation différentielle y'=ay+b, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur I telles que:
II - Résolution de y'=ay
y'=ay se nomme aussi équation différentielle homogène associée
1) Théorème
Les fonctions solutions de l'équation y'=ay sont les fonctions fk définies par:
2) Preuve
1) Première étape
On considère les fonctions fk telles que:
Ces fonctions sont effectivement solutions, car:
2) Deuxième étape
On considère g solution de l'équation. Définissons z par z(x)=e-axg(x). z est dérivable en tant que produit de fonctions dérivables.
z'(x)=-ae-axg(x)+e-axg'(x)=e-ax(-ag(x)+g'(x))=e-ax(0)=0
Donc:
Donc:
g(x) est donc une des fonctions fk vues dans la première étape.
III - Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b (a différent de 0)
1) Théorème (résolution)
Les solutions de l'équation differentielle y'=ay+b sont les fonctions fk définies par:
(Ou k est toujours un réél quelquonque)
2) Preuve
La fonction f0(x)=-b/a est une solution.
On considere g(x) solution de l'équation y'=ay+b
On peut donc s'appuyer sur les résultats obtenus precedement (Paragraphe II, preuve) pour dire que:
Or f0=-b/a
3) Théorème (suite)
Il existe une unique solution de l'équation différentielle:
y'=ay+b
Vérifiant la condition initiale y(x0)=y0 (x0 et y0 deux reels donnés)
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